Ceros y Unos

La leyenda cuenta que Teseo prometió a su padre, el rey Egeo de Atenas, que si tenía éxito, en su hazaña de matar al Minotauro, al volver su barco izaría velas blancas en vez de las tradicionales de color negro. El hijo de Egeo, perdido por muchos años, quería librar a su ciudad del infame tributo al Rey Minos, de Creta, que les obligaba a enviar a siete jóvenes y siete doncellas para que fueran sacrificados ante el monstruo con cuerpo de hombre y cabeza de toro.

Sabemos que Teseo fue exitoso, al usar una astuta estratagema, entró al laberinto donde habitaba la bestia, tirando de un hilo proporcionado por Ariadna, luego de matar a Asterión, el verdadero nombre del monstruo, según Borges¹, recorrió de vuelta el camino recogiendo el ovillo. 

Volvió Teseo triunfante, pero fue descuidado pues olvidó dar la instrucción de que pusieran las velas blancas, su padre, que se asomó a un risco a observar la llegada de su hijo perdido y recobrado. Cuando vio las velas negras sintió un gran dolor y no pudo soportarlo, a tal grado que se arrojó por el borde del precipicio, golpeándose en las rocas y hundiéndose en las aguas de aquel mar, que desde entonces lleva su nombre, Egeo.

El sistema inventado por Teseo y Egeo, para señalar el éxito o fracaso de la misión es muy sencillo y ha sido usado desde antiguo. Las señales con banderas, o humo, eran muy comunes en aquellos tiempos. 

“Una luz si es por tierra, dos luces si es por el mar”², esa fue la consigna que acordaron Paul Revere y Joseph Warren para avisar a los colonos de Charlestown cómo sería el movimiento de las tropas inglesas en su entrada a Masachusets, al inicio de la guerra de independencia norte americana. La historia es famosa, Warren colocó dos faros en la torre de una iglesia para que la pudiera observar Revere, quien al ver la señal cabalgó toda la noche gritando “¡ahí vienen los casacas rojas!”, para advertir a los patriotas que se preparasen para la lucha.

Códigos Binarios

Lo que tienen en común las leyendas de Teseo y de Paul Revere es que en ambas se usó un código binario para entregar información. 

¿Qué significa esto de código binario?

Lo que queremos decir, es que en ambos casos, hay dos partes involucradas: Teseo y Egeo, Revere y Warren, que se ponen de acuerdo en un código que sólo tiene dos opciones. Para Teseo y Egeo el código tiene dos valores: velas blancas que significa éxito, o Velas negras que significa fracaso. Para Revere y Warren el código tiene los valores: “dos lámparas” significa que los ingleses entrarán por el mar, “una lámpara”, que entrarán por tierra.

Para que un código funcione  todas las partes que lo ocupan deben tener claro su significado. Por supuesto pueden haber errores, y descuidos en su uso (como fue el caso de Teseo), entonces es necesario tener cuidado de asegurar que el mensaje no sea alterado cuando se usa un código. En general, cuando es tan simple un código, descuidamos estos detalles.

Contar con números binarios

Si con dos valores, podemos tener un código simple, con tres o cuatro podemos enriquecer el vocabulario de lo que queremos decir, ¿verdad? 

Es cierto, pero las cosas se empiezan a complicar. Tendríamos que crear tablas de significados, uno significa esto, dos significa otra cosa, tres otra más, y así.

Hace muchos años atrás trabajé en un sistema en que podíamos codificar millones de millones de mensajes usando sólo sesenta y cuatro letras. ¿Cómo es posible eso? Para que entiendan lo que hice tengo que contarles primero cómo se cuenta en binario.

Partir desde cero

Cuando nos enseñan a contar en la escuela lo hacen a partir del uno: 1, 2, 3… Si hay una hilera de personas empezamos a contarlas desde 1. Por eso que los matemáticos tienen el conjunto de los números naturales que empieza desde 1: N = {1, 2, 3, 4…..}. Pero en computación las cosas empiezan desde cero.

Según Wikipedia: “La palabra «cero» proviene de la traducción de su nombre en sánscrito shunya (vacío) al árabe sifr (صفر), a través del italiano. La voz española «cifra» también tiene su origen en sifr."³

El cero, el valor nulo, la ausencia de algo, el origen, el primero de los números binarios, esa será nuestra primera cifra. La segunda cifra será el 1.

Y no necesitamos más. 0 y 1 son suficientes.

El gran matemático Leibnitz lo explicó así en 1703:

El ajuste de cuentas común de la aritmética está hecho de acuerdo a la progresión de las decenas. Diez caracteres son usados, los que son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, los que denotan al cero, uno y los números sucesivos hasta el nueve inclusive. Y luego, cuando alcanzamos diez, el uno empieza de nuevo, escribiendo diez como “10″, diez veces diez, o cien, como “100″, diez veces cien, o mil, como “1000″, diez veces mil como “10000″, y así.

Pero en vez de la progresión de diez, he usado por muchos años la más simple progresión de todas, la que se incrementa por dos, habiendo encontrado que es útil para la perfección de la ciencia de los números. Así que no uso otros caracteres que el 0 y el 1, y cuando llego al dos, empiezo de nuevo. Esto es porque el dos es expresado por “10″, y dos veces dos, o cuatro, por “100″, dos veces cuatro, u ocho, por “1000″, dos veces ocho, o dieciséis, por “10000″, y así.

Aquí está la tabla de los números de esta manera, la cual puede ser extendida tan lejos como se desee.

Aquí, de un vistazo se hace evidente la razón para una celebrada propiedad de la progresión geométrica de los dos en todos los números, la que establece que si uno tiene sólo uno de esos número por cada grado, se pueden componer todos los números por debajo del grado más alto. De aquí, si uno ha dicho, por ejemplo, que 111, ó 7, es la suma de cuatro, dos y uno, y que 1101, ó 13, es la suma de ocho, cuatro y uno. Esta propiedad permite a los ensayadores pesar todo tipo de masas con pocos pesos y podría servir para acuñar de modo de obtener muchos valores con pocas monedas.

Estableciendo estas expresiones de número nos permiten hacer todo tipo de operaciones muy fácilmente.

Estableciendo estas expresiones de número nos permiten hacer todo tipo de operaciones de una manera muy sencilla. Y estas fascinantes propiedades aritméticas tienen la ventaja de que se pueden implementar muy bien en un dispositivo electrónico, siendo el 0 y el 1 los estados de un interruptor (cero es apagado, y uno es encendido). A estos dígitos binarios (cero y uno) los llamamos BITs, que viene de BInary Digit en inglés.

En 1937 Claude Shannon escribió su tesis doctoral donde implementó el álgebra de Boole usando relés y conmutadores por primera vez en la historia. Esta tesis es la base de los circuitos digitales que son usados hoy por todos los computadores.

Este mismo principio que explica Leibnitz es el que usé para codificar millones de millones de mensajes usando sólo sesenta y cuatro letras.

La historia es así. Fui contratado por una empresa que contaba con barcos que recorrían los fiordos del sur de Chile. Cada barco llevaba un sistema de GPS. Este aparato en particular tenían la propiedad que cada vez que se conectaban al satélite podía “descargar” hasta 64 bytes de información y enviar de vuelta la misma cantidad. Un byte son ocho bits, así que podía codificar literalmente 2 elevado a 64 valores posibles, para los curiosos ese número es: 18.446.744.073.709.551.616.

Entonces lo que hice fue crear un programa que administraba una tabla, con posibles valores:

0 - Diríjase a la base
1 - Refugiese en el puerto más cercano
2 - Recoja carga en puerto XX
3 - Recoja carga en puerto YY

.… Etc.

La tabla se alimentaba cuando los barcos recalaban en la base central, después iban recibiendo instrucciones usando este sencillo sistema.

Por supuesto no usamos todos los valores posibles, bastaban unas pocas decenas, se ocuparon los primeros 4 bytes para las tablas de mensajes y los otros 60 podían escribir cualquier cosa. Las comunicaciones eran lentas por cierto, tomaban varios minutos, pero servían para zonas en que la única señal era la del satélite. Y funcionó bastante bien.

Así que verán, cono sólo dos dígito, cero y uno, tenemos para escribir todo lo que podamos imaginar.

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1. “La casa de Asterión”, de Jorge Luis Borges. ↩︎

2. En realidad las dos luces indicaban que los ingleses tomarían la ruta del “agua” cruzando el río Charles. Fuente: https://en.wikipedia.org/wiki/Paul\_Revere\#%22Midnight\_Ride%22 ↩︎

3. Cero en Wikipedia https://es.wikipedia.org/wiki/Cero ↩︎